§ 4. Многозначные числа

В концентре "Многозначные числа" обобщаются и систематизируются знания учащихся об арифметических действиях, закрепляются навыки устных и письменных вычислений.

Сложение и вычитание многозначных чисел

Приступая к изучению сложения и вычитания, учитель проводит тщательное повторение сложения и вычитания в пределах 1000. Далее сообщает, что письменное сложение и вычитание любых многозначных чисел выполняется так же, как сложение и вычитание трехзначных чисел.

Сложение и вычитание начинается с примеров без перехода через разрядную единицу. После появления одного такого перехода в одном разряде, постепенно увеличивается число переходов через разрядную единицу.

Если сложение многозначных чисел не вызывает затруднения, то при вычитании наибольшую трудность вызывают случаи, когда уменьшаемое выражено разрядным числом. Последовательное раздробление единиц высшего разряда в единицы низшего разряда удобно проиллюстрировать на счетах (100 - это 9 дес. и 10 ед., 1000 - 9 сот., 9 дес. и 10 ед.,; 10000 – 9 тыс., 9 сот. 9 дес. и 10 ед. и т.д.). При отсутствии счета можно использовать пособие "Квадрат и полоски".

Полезно рассмотреть устные упражнения с объяснением решения: 1 дес. - 3 ед., 1 сот. - 5 ед., 1 тыс. - 7 сот., 1 сот. тыс. - это 10 дес. тыс., 1 дес. тыс. - это 10 ед. тыс. и т.п.

Из нуля единиц не можем вычесть 8 единиц. Берем 1 сотню (зачеркиваем 2 и сверху пишем оставшуюся 1 сотню), 1 сотня это 10 дес., берем из 10 дес. 1 дес. (остается 9 дес. - пишем сверху). 1 дес. - это 10 ед. (сверху пишем 10). Из 10 ед. вычитаем 8 ед., получим 2 ед.; из 9 дес. вычитаем 4 дес., получим 5 дес. Из 1 сотни вычесть 6 сотен не можем, берем 1 сотню тысяч (остается 2 сот. тыс. - пишем сверху). 1 сот. тыс. - это 10 дес. тыс., из них берем 1 дес. тыс. (останется 9 дес. тыс. - пишем сверху). 1 дес. тыс. - это 10 тыс., берем 1 тыс. (остается 9 тыс. - пишем сверху). 1 тыс. - это 10 сотен (пишем сверху 1 тысячи), еще 1 сотня, будет 11 сотен. Из 11 сот. вычитаем 6 сот., получим 5 сот.; из 9 тыс. вычитаем 4 тыс., получим 5 тыс.; из 9 дес. тысяч вычитаем 7 дес. тыс., получим 2 дес. тыс.; из 2 сот. тыс. вычитаем 1 сот. тыс., получим 1 сот. тыс. Читаем ответ.

Учащиеся часто допускают ошибки и поэтому целесообразно приучать их сразу же проверять сложением. Это помогает им самим найти свои ошибки.

Сложение и вычитание еще раз закрепляется при выполнении действии с именованными числами.

Умножение и деление многозначных чисел

Умножение и деление многозначных чисел изучается в такой последовательности:

1) умножение на однозначное число (426·3);

2) деление на однозначное число (792:2);

3) умножение числа на произведение и на этой основе умножение на числа, оканчивающиеся нулями (621·30);

4) деление числа на произведение и на этой основе деление на числа, оканчивающиеся нулями (480:60);

5) умножение числа на сумму и на этой основе умножение на двузначное и трехзначное число (46·73, 428·263);

6) деление на двузначное и трехзначное число.

Изучение этих вопросов вперемежку улучшает усвоение каждого действия и связей между умножением и делением. Учащиеся должны усвоить эти основные устные и письменные приемы умножения и деления.

1. Умножение многозначного числа на однозначное начинается с подготовительной работы, при котором выполняются упражнения вида:

1) представить в виде суммы разрядных слагаемых число 48, 245, 14257;

2) заменить умножение 18·3 сложением и сложением 15+15+15+15 умножением;

3) выполнить умножение: 40·2, 400·2, 4000·2;

4) сформулируйте правило умножения суммы на число и примеры (9+4)·2, (9+4+3)·2 решите двумя способами.

Введение приема умножения учитель проводит используя аналогию. После решения примера 18·3=(10+8)·3=54 пишет впереди цифру 4 и предлагает решить пример 418·3. Учащиеся без труда справляются: 418·3=(400+10+8)·3=400·3+10·3+8·3=1200+30+ +24 =1254. После этого учитель говорит, что в строчку выполнять не всегда удобно и, подобно сложению и вычитанию, умножение и деление тоже выполняют "столбиком":

1) Записываем второй множитель под единицами первого множителя. Проводим черту. Слева ставим знак умножения "х".

2) Умножим 8 единиц на 3, получим 24 ед., а это 2 дес. и 4 ед., 4 ед. пишем под единицами, а 2 дес. запомним.

3) 1 дес. умножим на 3, получим 3 дес., да еще 2 дес. получим 5 дес. Пишем их под десятками.

4) 4 сот.·3=12 сот., а это 1 тыс. и 2 сотни. 2 сот. пишем под сотнями и 1 тыс. пишем на месте тысяч.

5) Читаю ответ: 1254.

В первое время от учащиеся следует требовать подробных объяснений. По мере появления достаточных навыков можно переходить к свернутым рассуждениям типа "8 умножим на 3, будет 24; 4 пишу, а 2 запоминаю и т.д.".

После закрепления таких случаев умножения учащиеся изучают умножение чисел, оканчивающихся нулями: 720·6, 3700·2 и т.п. Перед записью столбиком разбирают решение и делают вывод: при

умножении чисел с нулями в конце сводим к умножению более низких разрядов и потом как бы "приписываем" нули. Далее учитель объясняет запись решения столбиком:

1) Подписываю второй множитель 6 под первой, отличной от нуля цифрой первого множителя, под цифрой 3.

2) В числе 42300 содержится 423 сотни, умножаем 423 сотни на 6, получится 2538 сот. или 253800.

2. Деление на однозначное число рассматривается аналогично: после ознакомления решением в "строчку" 846:2=(800+40+6)=800:2+40:2+6:2=423, когда вычисления выполняются устно, предлагаем пример 972:4. Возникают

трудности в представлении делимого в виде суммы удобных слагаемых. Говорим, что в этом случае деление выполняют письменно:

1) Первое неполное делимое 9 сот., значит в частном будут сотни, десятки, единицы, т.е. 3 цифры. Разделим 9 сот. на 4, получим 2 сот. Узнаем, сколько сотен разделили: 2 сот.·4=8 сот., 8 пишем под 9.

2) 9 сот.-8 сот.=1 сот. - не разделили.

3) Образуем второе неполное делимое: 1 сот.=10 дес., еще 7 дес. будет 17 дес. Разделим 17 дес. на 4 и получим 4 дес., 4 дес.·4=16 дес. пишем под 17.

4) 17 дес.-16 дес.=1 дес. - не разделили.

5) Образуем третье неполное делимое: 1 дес.=10, да еще 2 будет 12. 12:4=3 - пишем в частном. 3·4=12 - пишем под 12, 12-12=0. Деление закончено.

6) Читаю ответ: 243.

В рассмотренном случае число цифр частного совпадает с числом цифр делимого. В тех случаях, когда число цифр в частном меньше, чем в делимом, надо приучать учащихся, определив их вначале, ставить точки:

3 сотни нельзя разделить на 4, чтобы получились сотни.

Будем делить десятки. Их 37. Это первое неполное делимое. Значит, в частном будут десятки и единицы, т.е. 2 цифры (ставим 2 точки).

Далее продолжаем рассуждения как и раньше.

Такой прием помогает избегать ошибок в делениях, где в записи частного появляются нули. Если этот нуль пропускается, то точки могут остаться свободными, что означает ошибку в делении. Например, ученик ошибочно разделил:

"Первое неполное делимое 4 сотни. В частном будут сотни, десятки, единицы, т.е. 3 цифры; ставлю 3 точки. 4 сот. делим на 4, получится 1 сот., 4-4=0, не пишу, опускаю 3, 3 на 4 не делится, опускаю 2; 32 на 4 будет 8, 4·8=32, 32-32=0. В ответе получается... А почему одна точка лишняя?" После таких рассуждений ученик должен вернуться к повторному делению.

Причиной этой ошибки является преждевременное сокращение процесса рассуждения. Правильным должно быть такое объяснение:

"Первое неполное делимое 4 сотни, в частном будут сотни, десятки, единицы, т.е. 3 цифры (ставлю три точки). 4 сот.:4 =1 сот., 1 сот. · 4=4 сот., пишу под 4 сот., 4 сот.-4 сот.=0 сот. - не пишем. Опускаю 3 дес.: 3 десятка на 4 так, чтобы получились десятки не делится, значит в разряде десятков будет 0. Делим 32 единицы... и т.д."

3. Умножение числа на произведение может быть изучено следующим образом. Учитель предлагает записать выражение: 10 умножить на произведение чисел 4 и 2. (Один ученик записывает на доске, остальные в тетрадях.) Найдите его значение и объясните, как находили. (Сначала найду произведение чисел 4 и 2, получится 8; потом 10 умножу на полученный результат, на 8, получится 80.) Запись: 10 ·(4 ·2)=10 ·8=80.

Теперь найдем результат по другому: умножим число 10 на первый множитель - на 4 и результат умножим на второй множитель - на 2.Сколько получится? (Тоже 80.) Запись: 10 ·(4 ·2)=(10 ·4) ·2=40 ·2=80.

Получилось столько же, значит можно и так умножить 10 на произведение чисел 4 и 2.

Найдем теперь результат третьим способом: умножим 10 сначала на второй множитель - на 2 и результат умножим на первый множитель – на 4. Сколько получится? (Тоже 80.) Запись: 10 ·(4 ·2)=(10 ·2) ·4=20 ·4=80.

Что можно сказать об этом способе? (Получилось столько же, значит, так можно умножать 10 на произведение чисел 4 и 2.)

Учитель предлагает объяснить данные в учебнике разные способы умножения числа на произведение, после чего спрашивает, как можно умножить число на произведение. Ученики называют три способа умножения числа на произведение: а) можно найти произведение и умножить число на полученный результат; б) можно умножить число на первый множитель и полученный результат умножить на второй множитель; в) можно умножить число на второй множитель и полученный результат умножить на первый

множитель.

После изучения этого правила рассматриваются приемы умножения вида 546 ·30, 834 ·200, 8700 ·70 и т.п. Пример 546 ·30 сначала объясняется записью в "строчку":

546 ·30=546 ·(3 ·10)=546 ·3 ·10=16380, после чего делается вывод: если у множителя в конце число нуль, то умножение выполняем не обращая на него внимание, как раньше. А потом нуль приписываем.

1) Число 546 сначала умножим на 3 и полученный результат умножаем на 10: 546 ·3=1638 и приписываем справа один нуль.

2) Произведение равно 16380.

В случаях, когда оба множителя оканчиваются нулями, учащиеся рассуждают следующим образом: чтобы умножить 300 на 50, надо 3 сотни умножить на 5, получим 15 сотен, потом умножим на 10 и получим 150 сотен, или 1500, т.е. 300 ·50=3 сот. ·(5 ·10)=(3 сот. · 5)·10=15 сот. ·10=150 сот.=1500". После этого записываем столбиком:

4. После изучения темы "Деление числа на произведение" (методику см. гл. 4, § 4, гл. 5, § 4) учащиеся знакомятся с делением на числа, оканчивающие нулем. Сначала рассматривают устные приемы деления:

570:30=570:(10·3)=570:10:3=57:3=18

7200:900=7200:(9·100)=7200:100:9=72:9=8

420:14=420:(7·2)=420:7:2=60:2=30

При решении таких примеров некоторые учащиеся применяют запись 7200:900=72:9=8, т.е. зачеркивают в делимом и делителе одинаковое число нулей. В этом случае учителю надо обосновать правильность его записи: "В математике это правильно, объяснить такое решение вы научитесь, когда в 6 классе изучите основное свойство дроби"

Письменное деление объясняют так. Первое неполное делимое 513 десятков, значит, в записи частного будет две цифры. Узнаем, сколько десятков будет в частном: разделим 513 на 10 и полученное частное 51 разделим на 9, получим 5. Узнаем, сколько десятков разделили: умножим 90 на 5, получим 450. Узнаем, сколько десятков осталось разделить: вычтем 450 из 513, получим 63. Проверим цифру десятков частного: сравнив остаток 63 с делителем; десятков осталось меньше, чем 90, значит, цифру десятков нашли правильно. Образуем второе неполное делимое: 63 десятка - это 630 единиц… и т.д.

5. При изучении темы "Умножение числа на сумму" учитель может выбрать такой вариант:

1) Решают пример: (6+2)·3 двумя способами.

2) Составляют модель этого примера

и используя переместительное свойство умножения записывают модель

3) Внутри фигур записывают числа получают пример 3·(6+2).

4) Высказывается предположение, что он решается так же двумя способами: 3·(6+2)=3·8=24 и 3·(6+2)=3·6+3·2=18+6=24.

5) По рисунку учебника объясняют правильность этих способов решения.

После формулируют правило: чтобы умножить число на сумму, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

На основе этого правила учащимся объясняется письменное умножение двузначных чисел.

Умножим 46 на 3, получим первое неполное произведение 138. Умножим 46 на 70; для этого достаточно 46 умножить на 7 и к полученному числу приписать нуль. Но

этот нуль писать не будем, оставим его место свободным, так как число единиц 8 не изменится, если прибавим к нему нуль. Произведение 46 на 7 начнем записывать под десятками. Второе неполное произведение 322 десятка или 3220. Сложим неполные произведения, получим 3358.

Умножения вида 428·263 объясняются в сравнении с умножением на двузначное число: в трехзначном числе появляется еще один разряд и поэтому при умножении на трехзначное число появится еще одно неполное произведение.

При ознакомлении с умножением вида 456·308, учитель объясняет такое решение:

и потом говорит: при сложении неполных произведений нули на результат не влияют и поэтому их в дальнейшем писать не будем. При умножении на 3 сотни результат будем писать под сотнями, пропуская в первом неполном произведении справа две цифры:

Если ученик продолжает писать нули, запрещать не следует. Они "исчезнут" по мере сокращения рассуждений и формирования навыка.

5. Изучение умножения и деления многозначных чисел завершается изучением деления на двузначное и трехзначное число. При делении пользуются свойством деления суммы на число. Для нахождения цифр частного пользуются приемом замены делителя разрядным числом (округление). В этих случаях деления в частном получается пробная цифра, которую надо проверять:

Чтобы легче было подобрать цифру частного, будем делить не на 61, а на 60. Разделим 488 на 60, для этого разделим 48 на 6, получится 8. Цифра 8 не окончательная, а пробная, потому что требовалось разделить число 488 на 61, а мы разделили на 60. Эту цифру надо проверить: умножим 61 на 8, получится 488. Значит, цифра 8 верна.

 Надо разделить 856 на 214. Чтобы подобрать цифру частного, будем делить не на 214, а на 200. Разделим 856 на 200, для этого разделим 8 на 2, получим 4. Проверим цифру 4: умножим 214 на 4, получится 856. Значит, цифра

4 верна.

Учащихся надо приучать постоянно проверять, что при вычитании по-

лученных произведений остаток всегда должен быть меньше делителя.

При делении многозначных чисел учащиеся уже пользуются сокращенными рассуждениями:

1) Первое неполное делимое 755 дес., значит в частном будут десятки, единицы, т.е. 2 цифры.

2) 755 делим на 200, т.е. 7:2=3 (236·3=708, пишем под 755).

3) 755-708=47 - меньше делителя 236. Цифра 3 - верная.

4) 47 дес., да еще 2 ед. будет 472 ед. 472:200, т.е. 4:2=2. Проверим: 236·2=472. 472-472=0.

5) Читаю ответ: 32.

Объясним деление 63576:18.

1) Первое неполное делимое 63 тыс., значит в ответе будут тысячи, сотни, дес. и единицы, т.е. 4 цифры.

2) 63:18=3, 18·3=54, 63-54=9 - меньше делителя 18, значит 3 подходит.

3) 9 тыс.=90 сот., да еще 5 сот. будет 95 сот. 95:18=5, 18·5=90, 95-90=5 (меньше 15), подходит.

4) 5 сот.=50 дес., еще 7 дес. будет 57 дес., 57:18=3, 18·3=54, 57-54=3 - подходит.

5) 3 дес.=30, еще 6 единиц, будет 36 ед., 36:18=2,

18·2=36. 36-36=0. Деление закончено.

6) Читаю ответ: 3532.

Навыки письменного умножения и деления, особенно на двузначное и трехзначное число, являются сложными. Чтобы они успешно формировались, ученик должен выполнить большое количество разнообразных упражнений в течение длительного времени. При этом не следует торопиться использовать микрокалькуляторы, т.к. недостаточное усвоение этих алгоритмов сказывается в умственном развитии детей. В более старших классах некоторые учащиеся примеры вида 96·2, 126·2 не в состоянии решить устно.

Учителю в классе полезно иметь справочные материалы (индивидуальные, общеклассные) такого содержания (таблица 27).

Таблица 27