§1. О математических способностях учащихся

Необходимость повышения уровня математического развития школьников, их математической культуры требует от учителя целенаправленного развития у них математических способностей. Без наличия этих способностей трудно говорить о полноценной математической деятельности. Это не означает, что для успешного изучения математики должны быть врожденные математические способности. Психологи единодушно стоят на той точке зрения, что каждый нормальный и здоровый в психическом отношении школьник способен овладеть учебным материалом и тем самым в процессе этой деятельности приобрести и развивать те или иные способности. Это касается и математики. Обучение математике должно у учащихся формировать математические способности на доступном для каждого школьника уровне. Специальная и систематическая работа по их развитию должна облегчить понимание и достаточное усвоение математического материала.

Развивая математические способности учитель формирует и элементы способностей к другим смежным видам деятельности. Например, без наличия способностей к обратимости мыслительного процесса невозможно прививать учащимся способности к самоконтролю своей деятельности. В то же время наличие математических способностей еще не гарантирует успеха, а их отсутствие - неудачи в усвоении математики. Все зависит от многих факторов, в особенности от желания и умения трудиться. Известный математик А.Н.Колмогоров часто напоминал о том, что школьную математику, при хорошем руководстве учителем и наличии хороших учебников, способен усвоить любой человек с обычными средними способностями.

Для целенаправленной и успешной работы по развитию математических способностей учитель должен иметь о них целостное представление. В свое время психолог, профессор В.А.Крутецкий, исследуя вопросы математических способностей школьников, определил общую схему структуры этих способностей в школьном возрасте (48,с.385-386):

1.Получение математической информации

            а) Способность к формализованному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи.

2. Переработка математической информации

а) Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.

б) Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.

в) Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.

г) Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.

д) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

е) Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).

3. Хранение математической информации

а) Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним).

4. Общий синтетический компонент

а) Математическая направленность ума.

В начальных классах все эти элементы начинают только развиваться.

Это пойдет по правильному пути, если учитель знает практические приемы их развития Более конкретно с содержанием этих положений мы встретимся в дальнейшем изложении. Поясним те термины, на которых специально останавливаться не будем.

Формализованное восприятие математического материала означает умение быстро схватывать в конкретной задаче или в математическом выражении их формальную структуру, когда числовые данные, конкретное содержание на время выпадают и остаются связи между ними. По ним ученик определяет, к какому типу задач принадлежит рассматриваемая задача (например, ...эта задача на разностное сравнение, т.к. сказано "на сколько больше?"). Ученики с различными математическими способностями получают из задачи информацию различного характера. Главное - каждый из них должен научиться извлечь из данных условий задачи максимально полезную для ее решения информацию.

Способность мыслить математическими символами нужно понимать так: математическую запись типа (4+3)-2=2+3=5 ученик должен уметь читать непросто "4 плюс 3 минус 2 равняется 2 плюс 3 равняется 5", а так: "что-

бы из суммы 4 и 3 вычесть число 2 сначала из первого слагаемого 4 вычитаем это число 2, получим 2 и к полученному результату прибавим второе слагаемое 3, получим 5". При этом в первую очередь развивается математическая речь и, следовательно, математическое мышление.

Математическая направленность ума понимается как математическая одаренность. Для таких детей свойственно воспринимать многие явления действительности через призму логических и математических отношений.

Научными исследованиями психологов особенностей математических способностей у детей младшего школьного возраста под руководством профессора В.А.Крутецкого получены, в частности, следующие выводы (30, с.39-40):

1) Способные к математике учащиеся условия задачи хорошо воспринимают при использовании и анализа, и синтеза, умеют обобщать математический материал, обладают гибкостью мышления. Способности к свертыванию расссуждения, умение выбирать рациональное решение, память в начальный период обучения развиты недостаточно. Но по мере обучения и их развития эти недостатки постепенно устраняются.

2) У малоспособных учащихся вышеперечисленные компоненты математических способностей - на низком уровне. Математическая память, способность к свертыванию рассуждений почти не обнаруживаются. Их сформировать на удовлетворительном уровне можно только в результате упорного, настойчивого и систематического труда учителя и учащегося.

Для успешного развития способностей учащихся учителю надо конкретно и четко представлять себе структуру этих способностей, условия формирования и способы их развития в процессе обучения. Это - необходимое условие для развития математических способностей. Следует признать, к сожалению, что зачастую учителя берутся за их развитие не учитывая эти положения. Это является одной из причин того, что к постепенно мы теряем часть способных к математике школьников.