§ 6. Индуктивные и дедуктивные умозаключения

С точкой зрения формальной логики различают три основные формы мышления: понятие, суждение и умозаключение. Кратко поясним некоторыми примерами.

Понятие - это форма мышления, в которой отражаются общие и притом существенные свойства предметов и явлений. Например, квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Равенство всех сторон является существенным признаком квадрата, т.к. этот признак позволяет выделить квадрат из всех прямоугольников.

Суждение - это форма мышления, содержащая утверждение или отрицание какого-либо положения относительно предметов, явлений или их свойств. Например, от перестановки слагаемых сумма не изменяется. Истинность этого положения нуждается в обосновании или же в доказательстве.

Умозаключение - такая форма мышления, в процессе которой человек, сопоставляя и анализируя различные суждения, выводит из них новое суждение. Например: "5+1=6, 2+1=3, а 6›3; поэтому 5+1›2+1". Здесь из условий 5+1=6 и 2+1=3 выводится новое суждение 5+1› 2+1. Такого вида последовательность суждений представляют собой умозаключение.

Названные формы мышления рассматриваются в курсах психологии и теоретических основ математики (80, §2,4). В процессе развивающего обучения важным условием является умение обосновывать, доказывать высказанные суждения. Это зависит от того, насколько ученик умеет рассуждать, т.е. из одного или нескольких взаимосвязанных по смыслу предложений получает новое предложение.

В начальном обучении математике используются индуктивные и дедуктивные умозаключения, умозаключения по аналогии.

Индукция - умозаключение, при котором из нескольких частных суждений получают новое общее суждение.

В начальной школе, в отличие от самой науки математики, больше всего применяется неполная индукция, которая представляет собой умозаключение, в котором на основании того, что некоторые объекты класса обладают определенным свойством, делается вывод о том, что этим свойством обладают все объекты данного класса. Выводы,получаемые применением индуктивных умозаключений носят часто характер предположения, гипотезы и поэтому они нуждаются в доказательстве или опровержении. Рассмотрим это на примере темы "Перестановка слагаемых" (1 класс). Деятельность учителя и учащихся опишем в виде таблицы 6.

Таблица 6

Далее беседа продолжается.

- Ребята! Мы для всех чисел проверить не сможем и поэтому покажем наши действия кружками. Возьмите в левую руку 4 красных, а в правую 5 синих кружков. Составьте пример. (4+5=9). Поменяйте местами кружки и назовите пример (5+4=9). Что не изменилось? (Сумма). Используя слово "кружки", как это скажем? (Не изменилось число всех кружков) А если взять и тех и других кружков много-много, то изменится их общее число?

(Нет) Для любого числа кружков? (Да.) Значит наше правило верное? (Да, верное.) Теперь приведите свой пример и объясните.

Мы видим, что в процессе индуктивных рассуждений участвуют такие операции мышления, как анализ, синтез, сравнение, обобщение, абстрагирование. При таком методе изучения темы главным является обучение учащихся не просто запоминанию правила, а усвоение такой технологии его получения и внедрения (первое звено "практика" в нашем примере отсутствует):

Каждое звено этой технологии должно быть мотивировано и учащиеся должны быть убеждены в его необходимости. Обучение при таком подходе в определенной степени становится развивающим.

Применяя в процессе обучения индуктивные умозаключения, учительница школы N 466 г. Москвы Л.В. Хомякова (88,с.34) предлагает некоторые рекомендации:

1. Полезно рассматривать как можно больше аналогичных частных примеров, в которых повторяется наблюдаемая закономерность. Например, учащимся предлагается задание: "Сравните примеры (4·2):2, (5·3):3, (6·4):4, (4·3):3 и сформулируйте математическое правило". Решив их, после сравнения, определяют: если число умножить и потом разделить на это число, то получим первоначальное число.

2. Рассматривая частные примеры полезно использовать различные приемы и формы активизации познавательной деятельности.

Например, изучая перестановку слагаемых, после записи примеров 2+1*1+2, 4+3*3+4, допустим, учащиеся не смогли найти существенные их признаки. Тогда учитель предлагает им самим написать в тетради такие примеры. В ходе письма происходит "созревание", т.е. когда они по подражанию переставляют множители, у них появляется речевое выражение этого "подражания" - перестановка слагаемых и т.д. Замена фронтальной формы работы индивидуальной способствует более осознанному усвоению учебного материала.

3. Для самостоятельного "открытия" учащимися необходимой в данной ситуации закономерности, полезно использовать действия с предметами, рисунки, использовать схемы, таблицы. Например, изучаем правило умножения суммы на число. С учащимися рассмотрели примеры (4+3)·2=4·2+3·2; (6+4)·3=6·3+4·3, но с выводом они затрудняются. Тогда в этой записи числа заключаем в разные фигуры, потом их стираем и оставляем запись вида (○ + ∆)·□ = ○ · □ + ∆ · □ и пытаемся сформулировать "правило": "чтобы "сумму" круга и треугольника "умножить" на квадрат, надо сначала круг "умножить" на квадрат...". Потом вместо фигур пишем:

(I число + II число)·III число = I число·III число + II число·III число и добиваемся формулировки правила: чтобы сумму двух чисел умножить на число, можно каждое слагаемое умножить на это число и результаты прибавить.

4. В работе с заданием надо дать возможность высказываться как можно больше учащимся с грамотной математической речью.

5. Учителю надо своевременно помогать учащимся наводящими вопросами и в конце работы уточнить сделанный вывод.

Применение индуктивных и дедуктивных умозаключений в обучении математике называют индуктивным и дедуктивным методом обучения. Они применяются, в частности, при изучении математических понятий.

В качестве примера применения индуктивных умозаключений рассмотрим один из вариантов методики введения математических понятий: конкретно-индуктивный метод.

Конкретно-индуктивный метод введения понятия означает введение понятия на основе конкретных фактов используя индуктивные умозаключения. В этом процессе необходимо учитывать психологические ступени формирования понятия, т.е. равномерный и целенаправленный переход от восприятия и ощущений к представлению, и далее к понятию.

При введении понятий конкретно-индуктивным методом можно руководствоваться следующей схемой, представленной в виде таблицы. Эта схема может изменяться (сокращаться или дополняться) в зависимости от содержания изучаемых тем и других условий обучения (уровень подготовки класса, наличие оборудования и т.п.). Однако, в любом случае психологические ступени формирования понятия должны соблюдаться. В качестве примера рассмотрим схему поэтапного введения понятия "скорость" в 3 классе (таблица 17).

Таблица 7

Дедукция - умозаключение, при котором из одного общего и одного частного суждений выводится менее общее или частное суждение. Рассмотрим несколько примеров применения дедуктивных рассуждений.

1.         П р и м е р. Является ли число 28 четным?

2. Т е м а. Умножение (2 класс).

Определение умножения учитель сам сообщает или же предлагает учащимся прочитать из учебника: "Умножением называют сложение одинаковых слагаемых". После, при выполнении упражнений на замену суммы одинаковых слагаемых умножением и наоборот, учащиеся рассуждают так:

3. Правильно ли решен пример: 45+3=(40+5)+3=40+8=48?

Ученик рассуждает: "Чтобы к сумме чисел прибавить число, можно это число прибавить к одному слагаемому и к полученному результату прибавить другое слагаемое. Число 3 прибавили к второму слагаемому 5, получили 8 и потом прибавили второе слагаемое 40 и получили 48. Пример решен верно."

В рассмотренных примерах общее суждение использовалось в явном виде. В некоторых случаях они могут быть использованы и в неявном, скрытом виде. Например, решая тот же пример 45+3 ученик может рассуждать так: "45 это сумма чисел 40 и 5. К 5 прибавили 3, получили 8 и к 8 прибавим 40, получим 48". В таких случаях учителю полезно время от времени, для проверки понимания, спросить общее правило, которое и является общим суждением.

В теоретических основах математики рассматриваются три правила дедуктивных рассуждений: заключения, отрицания и силлогизма (80, с.102). Примером применения правила заключения может служить вышеприведенный первый пример. Учителю полезно использовать упражнения на применение и других правил.

Примерами применения правила отрицания могут служить такие упражнения:

1) Если число четное, то оно делится на 2. Число 37 не делится на 2. Какой вывод вы можете сделать?

 2) У прямоугольника все углы прямые. У четырехугольника АВСД только два прямых угла. Будет ли он прямоугольником?

Для обучения применению правила силлогизма можно использовать упражнения такого вида:

1) Число 96 делится на 8, а число 8 делится на 4. Делится ли 96 на 4?

(Более сложный вопрос: какой вывод можно сделать из этих двух предложений?)

2) Отрезок АВ равен отрезку СД, а отрезок СД равен отрезку РК. Что вы можете сказать об отрезках АВ и РК?

Обучению дедуктивным умозаключениям на практике не всегда уделают должное внимание. Это связано с непониманием их роли в развитии учащихся. Например, обучение учащихся такому приему запоминания как "применение стимулирующих звеньев" (гл. 3, §5) невозможно без дедуктивных рассуждений. Их отсутствие является серьезным препятствием также и в обучении свертыванию процесса рассуждения (гл. 3, §7).

Прежде чем ответить на конкретный вопрос, учащиеся должны уметь приводит общее положение (правило, свойство и т.п.) и на его основе обосновать свой ответ, т.е. отвечать по схеме: вопрос общее суждение частное суждение вывод. Это - одна из важных задач учителя.

В заключение отметим, что правила дедуктивных умозаключений широко применяются во многих системах развивающего обучения, особенно Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова. Примером этого может служить изучение транзитивности равенства (см.§4 данной главы).

Применение дедуктивных умозаключений в обучении математике называют дедуктивным методом обучения.