§ 4. Обобщение, абстрагирование и конкретизация в обучении математике

0бобщение является средством мысленного объединения предметов и явлений в группы на основе сходства их существенных признаков и отвлечения от признаков второстепенных, несущественных.

В процессе начального обучения математике обобщение используется при формулировке математических правил, выявлении закономерностей и др. В зависимости от содержания и целей уроков в процессе обобщения могут присутствовать сравнение, анализ или синтез, другие логические приемы и формы мышления.

В практике начального обучения математике различают эмпирическое и теоретическое обобщение. При эмпирическом обобщении вывод делается на основе сравнения нескольких конкретных случаев, когда общие признаки рассматриваемых явлений явно заметны. Например, при изучении темы "Перестановка слагаемых" сравнивая разные пары примеров вида 2+1=3 и 1+2=3, 4+5=9 и 5+4=9, мы заметим перестановку слагаемых и одинаковую сумму. На основе этих положений делаем вывод: от перестановки слагаемых сумма не изменяется.

При теоретическом обобщении проводится анализ предметов, явлений, содержания учебного материала и при этом выявляются скрытые, незаметные для глаз, общие признаки, после чего делается вывод. Рассмотрим пример теоретического обобщения в развивающей системе обучения Л.В. Занкова. Например, в задании 365 (Аргинская И.И. Математика - 2, 1997 г.) предлагается сравнить произведения каждой строки:

100·2   100·3   100·4   100·5   100·6   100·7

10·2    10·3    10·4    10·5    10·6    10·7

1·2     1·3     1·4     1·5     1·6     1·7

и определить, как с помощью последнего произведения каждого столбика найти значение двух других произведений. Учащиеся рассуждают так: 1 единицу умножили на 2, получили 2 единицы, значит 1 десяток умножим на 2, получим 2 десятка и т.д. Сходство этих 2 примеров скрыто от учащихся, что затрудняет сделать обобщение. Запишем так, как рассуждаем при вычислении: "1 ед.·2, 1 дес.·2, 1 сот.·2" и ставим вопрос: "Чем похожи эти примеры?" Учитель должен добиться ответа: разрядные числа в пределах 1000 умножаются так же, как и однозначные числа в таблице умножения. Происходит обобщение, чему способствует реконструкция записи.

Как отмечает А.Б. Истомина (42, с.127): "Для получения правильного обобщения индуктивным способом необходимо:

1) продумывать подбор математических объектов и последовательность вопросов для целенаправленного наблюдения и сравнения;

2) рассмотреть как можно больше частных объектов, в которых повторяется та закономерность, которую ученики должны подметить;

3) варьировать виды частных объектов, т.е. использовать предметные ситуации, схемы, таблицы, примеры, отражая в каждом виде объекта одну и ту же закономерность;

4) помогать детям словесно формулировать свои наблюдения с помощью наводящих вопросов, уточнять и корректировать те формулировки, которые они предлагают".

Рассмотрим, как можно было бы выполнить эти рекомендации при изучении темы: "Перестановка множителей" (Моро М.И., Бантова М.А. Математика, 2кл., 1997).

1) Для изучения темы в тетради сделаем рисунок, используем рисунок учебника (читай далее - А.А.),где будем подсчитывать число предметов по горизонтали и вертикали, затем сформулируем правило. Далее мысленно продумываем вопросы, которые будем задавать учащимся.

2-3) Предлагаем нарисовать в одну строчку 5 кружков и написать число 5. Далее учащиеся рисуют еще две строки по 5 кружков и записывают пример на умножение без ответа: 5·3. Затем нарисуем в один столбец 3 кружка и еще 5 таких столбцов. Записываем пример 3·5 и составим равенство 5·3=3·5. Разбираем рисунки учебника (прямоугольники со сторонами соответственно 6 и 3, 5 и 2, разбитые на клетки) к равенствам 6·3=3·6, 5·2=2·5. Далее выявляем общее свойство всех этих равенств: множители одинаковы, переставлены местами, значение произведения не изменилось.

4) Вместе с учащимися формулируем правило: от перестановки множителей, произведение не изменяется.

Работу с рисунками в тетради можно заменить индивидуальной работой учащихся с разными моделями на рабочем месте.

Теоретическое обобщение положено в основу системы развивающего обучения Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова: "Настоящая программа ставит целью формирование у младших школьников математических понятий на основе содержательного (теоретического - А.А.) обобщения... Следование принципу содержательного обобщения в организации обучения означает, что ребенок движется в учебном материале от общего к частному, от абстрактного к конкретному" (68, с. 33). В данной системе обучение направлено на формирование у учащихся общих способов деятельности, при котором работая с математическими объектами они сами "открывают" существенные свойства изучаемых понятий и общие способы действий с ними. Например, изучая транзитивность равенства: если А=К, а К=Р, то А=Р (Давыдов В.В. и др. Математика –1 кл., 1997, с. 40), сначала сравнивают две планки по длине и записывают равенство А=К. Планка А прячется, К сравнивается с новой планкой Р и дети записывают К=Р. После выясняют, какими могут быть планки А и Р. Делают вывод, что А=Р и проверяют результат непосредственным соизмерением. Далее, при работе с рисунком учебника к упражнению 1 (К=А, А=Б, К...Б) выясняют, можно ли, не кладя на весы яблоко и лимон, установить отношение их масс. После обсуждения делается вывод (К=Б).

В данной ситуации основой обобщения являются действия с моделью длины и моделирование этих действий с помощью рисунка.

Абстрагирование - это мысленное выделение тех существенных свойств и признаков предмета или явления, которые нужны в зависимости от цели их изучения, при одновременном отвлечении от других свойств и признаков.

Рассмотрим изучение темы: "Нахождение неизвестного делимого и делителя" во 2-м классе по традиционной программе (таблица 4).

Таблица 4

Аналогичным методом в начальных классах можно изучить темы: "Нахождение неизвестного слагаемого", "Нахождение неизвестного уменьшаемого и вычитаемого", "Нахождение неизвестного множителя".

Абстрагирование при решении задач способствует более глубокому пониманию смысла указанных в ней скрытых математических операций и облегчает их решение. Например, решая задачу: "В классе было 18 мальчиков и 12 девочек. Сколько всего учащихся в классе?", изобразив условно краткую запись через множества или отрезки (рис.5):

Рис. 5

мы сначала "возвращаем" их в реальную жизнь (так как они в свое время собирали игрушки, складывали палочки) и потом обратно переводим на язык математики, отвлекаясь при этом от предметов. С этой целью учитель проводит такую беседу.

- Ребята! Нарисуем условие задачи "кругами". Нарисуем мальчиков. (Рисуют первый "круг") Что это обозначает? (18 мальчиков.) Напишем внизу. (Пишут 18.) Как нарисуем девочек? (Добавим следующий "круг".) Значит, что это обозначает и как напишем? (напишем: 12 девочек.) Из двух маленьких "кругов" какой мы получили "круг"? (Большой "круг") Что он обозначает и что напишем. (Всего учащихся класса, поставим знак вопроса.) Значит, как у нас получается большой "круг"? (Объединили два маленьких "круга") Объединили, собирали и т.д. Какое математическое действие это напоминает? (Сложение). Чтобы узнать, что написать вместо знака вопроса, нам... (нужно к 18 прибавить 12). Теперь запишем решение задачи... (18+12=30 (учащихся)).

Аналогичная беседа может быть проведена и с отрезками. Здесь основной упор делается на выражение: "Большой отрезок - это "сложение" двух маленьких отрезков".

Конкретизация - это мысленный переход от более общего к менее общему, от общего к единичному. Процесс конкретизации противоположен процессам абстрагирования и обобщения.

Обучение конкретизации в учебном процессе понимается в том смысле, что учитель должен научить учащихся подтверждать общие положения математики (правила, закономерности, свойства и т.п.) конкретными примерами. Например:

Учитель: Скажите правило перестановки слагаемых и приведите пример.

Ученик: От перестановки слагаемых сумма не изменяется. Например, 2+3 равно 3+2, т.к. обе эти суммы равны 5.

В учебном процессе конкретизация связывает теоретические знания с практикой. Ее отсутствие приводит к формализму знаний, которые становятся оторванными от реальной жизни. Если в начальных классах это не так заметно, то в более старших классах это проявляется как одна из причин низкого уровня математических знаний.

Итак, обобщение, абстрагирование и конкретизация - логические приемы, способствующие более глубокому пониманию и усвоению математических знаний. В большинстве случаев они применяются в единстве и поэтому их нельзя рассматривать изолированно друг от друга. Где преобладает один из них, там будут и другие, возможно даже в скрытой форме. Успех в развитии ученика в определенной степени зависит от правильного применения этих приемов.