§ 2. Сравнение в обучении математике

Сравнение - один из основных логических приемов познания внешнего мира, при котором устанавливается сходство или различие объектов. Оно органически входит во всю практическую деятельность человека, в том числе и в деятельность по изучению математики. В результате сравнения нескольких предметов или явлений можно установить общие свойства, признаки, присущие данным предметам или явлениям. Такое сравнение по сходству называют сопоставлением. Если же в результате сравнения мы будем устанавливать различие предметов или явлений в каких-то признаках, то такое сравнение называют противопоставлением.

При сравнении соблюдаются определенные требования:

1) сравнивать следует только однородные понятия, отражающие однородные предметы или явления;

2) сравнивать предметы или явления надо по таким признакам, которые имеют важное, существенное значение.

Само собой разумеется, что сравнение должно быть целенаправленным, т.е. доведенным до конца по выбранному признаку и должно заканчиваться определенным выводом.

Обучая учащихся сравнению нужно придерживаться определенной последовательности действий. Профессор Пензенского ПГУ им. В.Г.Белинского А.К.Артемов выделяет два этапа обучения учащихся приему сравнения (см.(7)), описание которых приводим ниже.

Первый этап (подготовительный).

1. Выделение признаков одного предмета.

П р и м е р ы. 1) Дана запись 3+2=5. Какие признаки этой записи можно выделить? (В ней есть числа 2,3,5, знаки + и =, число 2 - слагаемое, 3 - то же, 5 -сумма, 3+2 - сумма и др.)

2) Дано число 72. Выделите все признаки, которые вы заметили у этого числа? (запись оканчивается цифрой 7, заканчивается цифрой 2, в этом числе 7 десятков, 2 единицы и др.)

3) Запишите число по таким признакам: число единиц 4, а число десятков на 2 больше.

2. Выделение существенных признаков предметов.

В обучении учащихся в первое время вместо термина "существенный" целесообразно употреблять термины типа "главный", "важный" и т.п. Учащимся разъясняется, что под такими признаками понимают признаки, от которых зависит правильность ответа на поставленный вопрос.

П р и м е р ы.

1) Число 19 представьте в виде суммы двух слагаемых. Что главное, важное в этом задании? (19=2+17, 19=8+11 и т.д., важно – число должно изображаться в виде суммы и должно быть два слагаемых).

2) Сложение 7+7+7+7 замените умножением. Какие признаки данного примера важны? (Наличие одинаковых слагаемых.)

3. Выделение сходных существенных признаков двух и более предметов.

П р и м е р. Рассмотрите образцы:

1) 34+20=(30+4)+20=(30+20)+4=54

2) 34+2=(30+4)+2=30+(4+2)=36

Какие главные, важные признаки имеются в обоих примерах? Какие важные признаки есть у первого примера и отсутствуют у второго?; есть у второго примера и отсутствуют у первого? Назовите различные главные, важные признаки у этих примеров.

Второй этап - обучение приему сравнения.

На этом этапе учащиеся должны понять, что сравнить - это значит установить сходные и различные существенные признаки предметов. Предлагаем работать по такому плану сравнения:

1) установить, что сравнивается в данных предметах (по какому признаку они сравниваются);

2) взять один существенный признак предмета и найти сходный признак у другого предмета, потом то же самое проделать со вторым, третьим т.д. признаками, т.е. установить сходство и различие данных предметов;

3) сделать вывод, если это возможно.

П р и м е р. Сравните решения примеров:

14·5=(10+4)·5= 10·5+4·5=50+20=70

22·7=(20+2)·7= 20·7+2·7=140+14=154

О т в е т: 1) Существенные признаки: действие умножения, первый множитель двузначное, второй - однозначное число, значение самих чисел - несущественно. 2) Сходные существенные признаки - двузначное число представлено в виде суммы разрядных слагаемых и данное задание сводится к умножению суммы двух чисел на число. 3) В результате сравнения узнаем способ умножения двузначного числа на однозначное.

Применение приема сравнения дает результаты после достаточного им овладения. От этого зависят также развитие у учащихся умений обобщать, абстрагировать, делать умозаключения используя приемы аналогии, индукции, дедукции.

Рассмотрим изучение темы "Вычитание числа из суммы" (Моро М.И. и др. Математика, 1 кл, 1995, с.126), где сравнение может быть применено для "открытия" нового способа вычисления (рис. 2).

Рис. 2

При этом учитель проводит такую беседу.

- Ребята! Мы изучим тему "Вычитание числа из суммы: (4+3)-2" по рисунку учебника. Пока закройте бумагой весь рисунок. Мы с вами откроем рисунок по частям, "отгадаем" решение, запишем и после проверим по

учебнику, т.е. мы научимся, сравнивая рисунки, находить новый способ решения примера. Нужно выполнять действия только по моим указаниям.

Откройте первый ряд аквариумов с решением примера. Почему в первом аквариуме рыбки нарисованы так? (Там у нас числа 4 и 3, значит, рыбок надо нарисовать 4 и 3, причем отдельно.) Во втором аквариуме что сделали первым: поймали рыбки или подняли перегородку? (Подняли перегородку и рыбок стало 7). Как это узнали? (В скобках числа 4 и 3 написаны красным, это показывает, что их прибавили.) А потом ... (Поймали 2 рыбки и осталось их 5.) Знали ли мы такой способ решения? (Да. Сначала прибавим в скобках 4 и 3, получим 7, затем вычитаем 2 и получим 5.)

Ребята, во втором ряду аквариумов откройте только рисунок, не открывая решения примера. Сравнивая первый аквариум с верхним, скажите, зачем он нарисован так же? (Чтобы получить решение этого же примера, наверное, другим способом.) Запишите в тетради: (4+3)-2= . Во втором аквариуме почему слева поймали 2 рыбки? (Чтобы показать, что из 4 можно вычесть 2.) Сколько рыбок осталось в этой части? (2 рыбки.) Почему слева от перегородки остались две рыбки и что они показывают? (Когда из 4 отняли 2, получилось 2.) Продолжим запись: (4+3)-2=2... В третьем аквариуме убираем перегородку и что при этом происходит? (К 2 рыбкам присоединились 3 рыбки.) Видим, что 3 рыбки присоединились к 2 рыбкам, значит как закончим запись решения? (4+3)-2=2+3=5.) А теперь откройте запись решения примера к этому рисунку и проверьте с нашей записью. (У нас так же!) А почему в учебнике 4 и 2 написаны красным цветом? (Чтобы показать, что 2 вычитаем из 4.) Теперь скажем правило. (Чтобы из суммы двух чисел вычесть число, можно вычесть это число из первого слагаемого и к полученному результату прибавить второе слагаемое.) Значит, если правильно сравнивать рисунки, пример можно решить и самостоятельно, не заглядывая в решение, которое есть в учебнике.

Аналогичная работа проводится с аквариумами в третьем ряду.

Положительная сторона данного подхода - учащиеся, работая с рисунком учебника, сами выводят новое знание и, сверяя после с записью учебника, проверяют правильность своих предположений, т.е. развивается навык самоконтроля. Отрицательная сторона - при недостаточных навыках работы с учебником и слабой математической речи такой подход может не "сработать" и в этом случае необходима работа с реальными предметами. Хороший результат в такой ситуации также дает дублирование рисунка учебника реальными предметами по готовой записи решения примера.

Нетрудно понять, что сравнение в обучении и развитии младших школьников имеет большое значение. Сравнение - это мыслительная деятельность, которая непрерывно осуществляется школьником в процессе учения. Оно является основой всякого мышления. Успех учения в значительной мере определяется тем, сформировались ли у школьников умения сравнивать, т.е. замечать сходное и различное".