§3.Содержание и построение начального курса математики  

            Начальный курс математики, изучаемый в 1-3 классах (с 7 лет) и в 1-4 классах (с 6 лет) является той частью школьного курса математики, где закладывается фундамент математического образования школьников.

            Практика показывает, что в старших классах успешнее продвигаются вперед в изучении математики те учащиеся, которые в достаточной степени овладели необходимыми математическими знаниями, умениями, навыками и в том числе - математической речью в начальной школе.

Основой начального курса математики является арифметика натуральных чисел и основных величин. В него входят также элементы геометрии и алгебры, которые органически включаются в систему арифметических знаний, способствуя более высокому уровню усвоения понятий о числе, арифметических действиях и математических отношениях.

В составлении учебных программ и учебников возможны два варианта построения их содержания: а) линейное, б) концентрическое. При линейном построении все время осуществляется переход к новому материалу.

Каждый предыдущий материал является основой для следующего, причем, благодаря наличию смысловой зависимости, последующий материал зависит от предыдущего. Такое построение наиболее часто встречается в программах и учебниках для старших классов, в вузовских учебниках академического характера.

При концентрическом построении курса одинаковый учебный материал вводится поочередно на разных уровнях обучения. Каждый из этих уровней составляет определенный цикл, или, назовем концентр. Первоначальный концентр содержит лишь наиболее важные положения, которые в последующих концентрах излагаются более подробно, полно. Такой подход намного облегчает запоминание и понимание, а также овладение математическими навыками и мышлением.

В начальном курсе математики используется концентрическое расположение материала. В таблице 1 показано, как некоторые вопросы из одного концентра переходят в другой концентр, где они изучаются более полно.

Таблица 1

Таким образом, в курсе математики начальных классов выделены четыре концентра: десяток, сотня, тысяча, многозначные числа. С учетом изучения других вопросов: величины, дроби, алгебраический и геометрический материалы, схематически расположение материала можно изобразить в виде рисунка 1.

Рис.1

Известные методисты Бантова М.А. и Бельтюкова Г.В. отмечают, что «выделение именно таких концентров объясняется особенностями десятичной системы счисления и вычислительных приемов: в каждом концентре раскрываются новые вопросы, связанные с системой счисления и арифметическими действиями. Как показал опыт, концентрическое расположение материала соответствует возможностям младших школьников.

Обучение математике начинается с небольшой области чисел, доступной детям и известной им до школы, эта область чисел постепенно расширяется и вводятся новые понятия; при таком построении курса обеспечивается систематическое повторение и вместе с тем углубление изученного, так как полученные ранее знания, умения и навыки находят применение в новой области чисел. Все это способствует лучшему усвоению курса". (11, с. 9)

При построении традиционного начального курса математики в основу положены следующие принципы.

Вопросы теории и вопросы практического характера органически связываются между собой. Например, переместительный закон сложения вводится индуктивно, т.е. на основе обобщения частных фактов, после чего, например, случаи сложения вида 2+6 выполняются так: 2+6=6+2=8. При этом хорошо усваиваются теоретические вопросы и формируются осознанные вычислительные навыки.

2. Математические понятия, свойства, закономерности раскрываются в их взаимосвязи. Например, при изучении арифметических действий раскрываются зависимости между их компонентами и результатами.

3. В процессе изучения математики каждое математическое понятие получает свое развитие, т.е. постепенно раскрываются его новые свойства, связи с другими понятиями. Например, после ознакомления с умножением, через несколько уроков вводятся термины, еще через несколько уроков - перестановка множителей и еще позднее - правило нахождения неизвестного множителя, где устанавливается связь между умножением и делением. Далее вводятся правила умножения суммы на число, числа на сумму, числа на произведение. Такой подход обеспечивает более высокий уровень усвоения математических знаний.

4. Сходные или связанные между собой вопросы рассматриваются в сравнении.

Например, действие сложения и вычитания вводятся одновременно. В этом случае легко выделить существенное сходство и различие между ними, что помогает предотвратить ошибки учащихся.

В зависимости от выбираемых принципов возможно построение и других систем обучения в начальной школе (см.гл.15,§2).

В курсе математики начальной школы можно выделить следующие основные понятия.

1. Натуральное число и нуль.

Натуральное число вводится как обшее свойство класса конечных равномощных множеств. Его конкретный–

смысл раскрывается в результате операции над множествами (отсюда один способ образования числа - счет), величинами (другой способ - измерение) и как результат выполнения арифметического действия. Формирование понятий о натуральном числе проводится на основе практических действий с различными группами предметов. Выясняется, как образуется каждое следующее число в натуральном ряду, устанавливается соотношение между любым числом ряда и всеми предшествующими и последующими. Учащиеся знакомятся с различными способами сравнения чисел (сначала на основе сравнения соответствующих групп предметов, а затем по месту, которое занимают сравниваемые числа в ряду), учатся находить сумму двух чисел (сначала с помощью счета предметов, а затем с использованием способа присчитывания по одному и группами).

Число "нуль" рассматривается как число элементов пустого множества.

2. Понятие о системе счисления.

Как показано в таблице 1 (с.15) в процессе изучения нумерации натуральных чисел, понятия разряда, класса, разрядной единицы, разрядного числа постепенно дополняясь переходят из концентра в концентр. Постепенно рассматриваются образование, запись, чтение и анализ их десятичного состава.

3. Арифметические действия.

Учащиеся знакомятся с названиями арифметических действий, их компонентов и результатов, вводится соответствующая символика и терминология. Раскрывается конкретный смысл действий: сложение - на основе объединения конечных непересекающихся множеств, вычитание - на основе числа элементов в дополнении одного множества до другого, умножение – на основе объединения равночисленных попарно непересекающихся множеств, деление - на основе разбиения множества на попарно непересекающиеся равночисленные подмножества.

Сюда же относится формирование вычислительных навыков.

Начальный курс математики включает ряд свойств арифметических действий: переместительное свойство сложения и умножения, свойства прибавления числа к сумме и суммы к числу, вычитания числа из суммы и

суммы из числа и другие (см. (67)).

4. Понятие величины и их измерение.

Усвоение особенностей изучаемых величин (длина, масса, время, емкость, площадь) достигается посредством выполнения разнообразных практических заданий познавательного характера. При формировании представлений о величинах учитель опирается на опыт ребенка, уточняет и расширяет его. Постепенно формируются измерительные умения и навыки.

Изучение величин тесно связывается с изучением понятия числа, нумерации чисел и геометрического материала.

5. Понятие дроби.

Во 2 классе вводится понятие доли как одной из равных частей целого, дается запись. В 3 классе вводится дробь как некоторое число равных долей, запись дроби, их преобразование и сравнение. Все это выполняется на наглядной основе. Решаются задачи, связанные с долями и дробями.

6. Геометрический материал.

Для ознакомления с простейшими геометрическими фигурами (линия, точка, отрезок, угол, многоугольники и др.) и развитию пространственных представлений учащихся вводится геометрический материал. Решаются также задачи геометрического характера. Все это выполняется на наглядной основе.

7. Алгебраический материал включает такие вопросы, как изучение равенств, неравенств, уравнения, переменной. Решение уравнений способом подбора и на основе взаимосвязи между компонентами и результатами

действий вводится в различных системах обучения в разных классах. Изучение алгебраического материала носит пропедевтический характер, т.е. является подготовительной работой к изучению математики в последующих классах.

8. Задачи в начальном курсе математики используются для раскрытия конкретного смысла арифметических действий, их свойств, связи между компонентами и результатом арифметических действий. Формирование многих понятий, их свойств, практические умения и навыки их применения в жизненной ситуации - все это осуществляется через систему целесообразных задач и практических работ.

Содержание и построение начального курса математики по определенной системе обучения описывается в соответствующих учебных программах, методических пособиях и учебниках