5. Методика работы над задачами, раскрывающими понятия разности и кратного отношения

Задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц (прямая форма), на разностное сравнение вводятся в 1 классе. Задачи на увеличение и уменьшение в несколько раз, на кратное отношение вводятся во 2 классе. Косвенная форма всех задач этой группы рассматривается в 3 классе. Это связано с тем, что в 1-2 классах у учащихся недостаточно развиты обратимость и гибкость мышления.

Задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, выраженные в прямой форме, вводятся одновременно.

Подготовительной работой к решению этих задач служат упражнения вида:

1) сравнение чисел (например, 3<4, 4>3) как численности множеств (см. гл. 4, § 5);

2) усвоение рассуждений типа: "6+1=5, значит 6 больше 5 на 1", используя предметные картинки;

3) изучение понятий "увеличить", "уменьшить", где на наглядной основе усваиваются рассуждения типа: "если 6 уменьшить на 1, то получится 5, т.е. 6-1=5", "5 меньше 6 на 1", "чтобы уменьшить 6 на 1, из 6 вычитаем 1" и т.п. (аналогично и сложение);

4) составление примеров и задач по рисункам учебника (рис.70)

Рис. 70

на увеличение и уменьшение на 1, затем на 2;

5) составление двух множеств, используя отношения

«на…больше», «на…меньше» :положите слева 3 палочки, а справа на 2 больше, на 2 меньше и т.п.

При ознакомлении с задачами названных видов рассматриваются два их вида:

1) Задачи, в которых дается разность между числом элементов множества и его подмножества.

З а д а ч а. Мальчику нужно было купить 5 карандашей, а он купил на 1 карандаш больше. Сколько карандашей купил мальчик?

Что покупал мальчик? (Карандаш.) Сколько карандашей нужно было купить мальчику? (Мальчику нужно было купить 5 карандашей.) А что еще известно в условии задачи? (Мальчик купил на 1 карандаш больше.) Что требуется узнать в задаче? (Сколько карандашей купил мальчик?)

Выполним на палочках то, что говорится о карандашах в этой задаче. Возьмите в руку столько палочек, сколько карандашей нужно было купить мальчику. (Учащиеся берут по 5 палочек.) А сейчас возьмите еще столько палочек, на сколько больше карандашей купил мальчик. (Учащиеся берут еще 1 палочку.) Сколько же карандашей купил мальчик? (Мальчик купил 6 карандашей.) Каким действием вы это узнали и как узнали? (Сложением. К 5 карандашам прибавили 1 карандаш, получилось 6 карандашей.)

В этих задачах при моделировании кружки, палочки и др. выкладывают в один ряд.

2) Задачи, в которых дается разность между числом элементов двух множеств.

З а д а ч а. У Коли 7 марок, а у Тани на 3 марки больше. Сколько марок у Тани?

Положите в один ряд столько палочек, сколько марок у Коли. (Кладут 7 палочек.) Что означает "у Тани на 3 марки больше"? (Это значит 7 и еще 3 палочки.) Положите во второй ряд 7 палочки и еще 3 палочки. (Выполняют.) К 7 палочкам мы 3 палочки ... (добавили). Какое действие выполнили? (Сложение.) Запишем решение. (7+3=10.)

В задачах на уменьшение числа на несколько единиц иллюстрации выполняют следующим образом. В задаче "Дима сорвал 6 слив, а Ира сорвала на 4 сливы меньше. Сколько слив сорвала Ира?" в один ряд кладут 6 палочек (сливы Димы), в другой ряд тоже 6. Затем из второго ряда убирают 4 палочки и объясняют так: Ира сорвала на 4 сливы меньше, это значит 6 без 4 слив, надо из 6 вычесть 4.

При решении задач на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц надо избегать выводов типа: "если в задаче сказано "на больше", то задача решается сложением". Запомнив этот ложный вывод, учащиеся продолжают решать сложением и аналогичные задачи в косвенной форме: "У Коли 7 марок, что на 3 марки больше, чем у Тани. Сколько марок у Тани?" Вывод всегда должен быть конкретным по задаче: "здесь сказано, что на 3 больше, чем 7 и поэтому к 7 прибавим 3".

При закреплении решений задач названных видов, учащиеся самостоятельно выполняют различные способы моделирования, анализируют задачу. Учителю полезно работать с опорными схемами вида (рис.38) как для составления, так и для решения задач.

Задачи на разностное сравнение вводятся в 1 классе после изучения понятий "на сколько больше?", "на сколько меньше?".

Подготовительной работой является усвоение методики сравнения чисел (см. гл. 4, § 5), при котором, сравнивая числа 3 и 4, делаем не только вывод "3<4 или 4>3", но и говорим: "3<4 на 1, т.к. при наложении 3 кружков на 4 квадрата, 1 квадрат остался лишним" и т.д. На этом этапе результаты сравнения чисел полезно заносить в опорную схему (рис. 71) и по нему научить формулировать задания: «На сколько 4 больше 3?», что впоследствии облегчит формулировку текста задачи.

При ознакомлении с задачей на разностное сравнение используем ту же опорную схему, формулируем задание: "На сколько 4 больше 3?", подбираем сюжет и составляем задачу. Решение и рассуждения для учащихся не составляют труда, т.к. здесь происходит соотнесение (см. гл. 3, § 5) изучаемого материала с ранее изученным. Этот прием может быть использован при рассмотрении любых простых задач. такую методику использует, в частности, учительница московской школы С.Н. Лысенкова. При решении задач на разностное сравнение у учащихся формируем рассуждение: "Чтобы узнать, на сколько одно число больше или меньше другого, из большего числа вычитаем меньшее".

Задачи на увеличение и уменьшение числа на несколько единиц, выраженные в косвенной форме вводятся в 3 классе, хотя при должном развитии обратимости мышления их можно вводить и раньше.

Сначала учащиеся выполняют практические упражнения вида: "Начерти два отрезка: первый 9 см, он на 3 см короче, чем второй отрезок. Длина второго отрезка больше или меньше длины первого? На сколько сантиметров?", затем переходят к задачам. О методике работы с задачами вида: "У Сережи было 10 книг, что на 2 больше, чем у Миши. Сколько книг у Миши?", мы говорили в главе 3, § 9. При закреплении решений таких задач нужно с учащимися формировать рассуждение типа: "в задаче 10 на 2 больше, чем неизвестное, значит неизвестное на 2 меньше 10, поэтому из 10 вычитаем 2".

Задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз, выраженные в прямой форме вводятся во 2 классе после усвоения конкретного смысла действия умножения.

Подготовительной работой к введению этих задач является практическое воспроизведение пояснений учебника по рис. 72: «Красных кружков в 2 раза больше, чем треугольников, а треугольников в 2 раза меньше, чем красных кружков». Покажем это практически.

Учащиеся треугольники накладывают на кружки первого ряда, потом, убирая их оттуда на кружки второго ряда; наложили 2 раза и поэтому кружков больше в 2 раза. Вывод: "в 2 раза меньше" делаем используя обратимость мышления: "больше - меньше, выше - ниже" или же обратно накладывая 8 кружков на 4 треугольника. После этого составляем модель этого задания (рис. 73)

Рис. 73

И записываем пример: 4·2=8, 8:2=4. Полезно, используя опорные схемы (рис. 74),учить учащихся формулировать вопросы вида: «Какое число в 2 раза меньше 8?»,

«Назови число, которое в 2 раза меньше 8», «8 уменьшим в 2 раза», «Составь примеры по этим схемам» и другие. Аналогично и со словом «больше».

Рис. 74

Они станут основой для составления задач этого вида.

Понятие "меньше в...раз", сформулированное используя обратимость мышления, надо подкрепить выполнением упражнений типа: "В первом ряду 6 кружков, а во второй надо положить в 3 раза меньше. Сколько кружков положили во второй ряд?", для чего надо 6 кружков разделить на 3 равные части и взять столько, сколько их в одной части. Все это делается наглядными пособиями.

При ознакомлении с задачами на увеличение и уменьшение числа в несколько раз вывешиваем наборное полотно (рис.74) и просим составить всевозможные вопросы (см. выше) и, затем, задачу. После восприятия и осмысления задачи возвращаемся к наборному полотну и продолжаем рассуждения так, как и при подготовительной работе.

При другом подходе учитель может предложить готовую задачу, по ним работать с наглядными пособиями и сделать выводы. Закрепляя решение задач этого вида у учащихся, формируем выводы не общего характера: "если в... раз больше...", а конкретные по задаче: "в этой задаче неизвестное в 2 раза меньше 8, поэтому 8 делим на 2".

Задачи на кратное отношение вводятся во 2 классе после усвоения формулировки правила: чтобы узнать, во сколько раз одно число больше или меньше, чем другое, надо большее число разделить на меньшее. Этот вывод делается после выполнения ряда упражнений вида: "В одном ряду 6 треугольников, а в другом 2 треугольника. Узнайте, во сколько раз треугольников в первом ряду больше, чем во втором?". Рассуждаем: разделим 6 треугольников по 2, получится 3 раза по 2, значит в первом ряду в 3 раза больше, чем во втором, а во втором в 3 раза меньше, чем в первом".

Дальнейшее решение задач на кратное отношение все время опирается на вышеупомянутое правило.

Простые задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз, выраженное в косвенной форме, вводятся в 3 классе и их решение опирается на рассуждение: "если 8 в 2 раза больше 4, то 4 в 2 раза меньше 8", сформированное при решении предыдущих видов задач.