§7. Аналогия в обучении математике

Одним из самых распространенных методов научного исследования является аналогия. Аналогия - подобие, сходство предметов в каких-либо свойствах, признаках или отношениях, причем таких предметов, которые в целом различны. Умозаключение по аналогии - это такое умозаключение, "в котором на основании сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них, делается вывод

о наличии такого же признака у другого объекта" (80, с.98-99).

Аналогия, как форма мышления, играет большую роль в развитии математических способностей, в частности, воображения, памяти, свернутости и гибкости мышления. При этом надо помнить, что умозаключения по аналогии дают нам правдоподобные заключения и поэтому они должны быть доказаны или опровергнуты.

Как отмечает профессор Пензенского ПГУ А.К. Артемов, для применения аналогии в начальном обучении, придерживаются следующих правил (5, с. 36-37):

1) аналогия основывается на сравнении и поэтому учащиеся должны в достаточной степени владеть этим приемом;

2) для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых хорошо известен учащимся, а другой сравнивается с ним;

3) при сравнении объектов тщательно изучают их сходство и различие в существенных в данной ситуации признаках;

4) при использовании аналогии учащимся в доступной форме разъясняют цели его применения, обратив их внимание на то, что в математике часто новые знания можно получить "по догадке", внимательно изучая известное знание и данное задание.

В логике различают несколько видов аналогий, из которых в начальном обучении математике учитель может использовать аналогию отношений, аналогию свойств и аналогию действий.

1. Аналогия отношений - аналогия, при которой между данными объектами устанавливается некоторое отношение.

Т е м а: Сложение вида 34+20, 34+2 (1 класс).

Учащимся разъясняем цели применения аналогии: "Ребята! Сейчас мы с вами решим один пример. Если правильно ответите на мои вопросы, то вы сможете самостоятельно решить второй пример, который я напишу".

Разбираем решение примера 34+20=(30+4)+20=50+4=54 и выявляем существенные признаки: представление числа в виде суммы разрядных слагаемых, применение правила прибавления числа к сумме. После этого предлагаем пример 34+2 и высказываем "догадку" - нельзя ли и здесь поступить так же. Потом доказываем правомерность наших действий решением 34+2= (30+4)+2=30+(4+2)=30+6=36 и проверкой по учебнику.

Т е м а: Нахождение времени движения по известному расстоянию и скорости (3 класс).

Перед решением задачи "Пассажир проехал в автобусе 90 км. Скорость автобуса 45 км/ч. Сколько времени ехал пассажир в автобусе? Запиши задачу в таблицу и реши её", практически демонстрируя наши действия и беседуя с учащимися, последовательно заполняем заранее приготовленную таблицу 8 (последняя строка заполняется учащимися из задачи самостоятельно):

Таблица 8

Вывод: чтобы найти время движения надо расстояние разделить на скорость.

В этой аналогии, отношения, установленные в первых двух случаях, помогают решить задачу и вывести соответствующее правило.

3. З а д а ч а: "В школе юннатов было 128 кролика. Когда несколько кроликов подарили другой школе, у них осталось 92 кролика. Сколько кроликов подарили юннаты?"

 Допустим, что учащиеся по каким-то причинам (забыли, "страх" перед большими числами и др.) затрудняются в решении задачи. Применяя аналогию, учитель "возвращает" их в знакомую для них ранее ситуацию, сохраняя сюжет задачи. Как это делается, видно из следующей записи:

После устанавливаем, что новую задачу иногда легко решить, если вспомнить такую же старую задачу с "маленькими" числами.

Как правило, аналогичная задача должна быть доступной для устного решения. В обучении слабых учащихся большую роль играет именно такой вариант аналогии, т.к. от условия данной задачи, через аналогичную задачу с "маленькими" числами с тем же сюжетом, легко переходить к выбору необходимого для решения действия.

2. Аналогия свойств - аналогия, при которой на основе изучения существенных признаков одного объекта раскрываются новые свойства изучаемого объекта.

Например, в качестве примера А.К. Артемов приводит следующий факт: "Допустим, изучаются классы чисел. В классе единиц три разряда - единицы, десятки, сотни. В классе тысяч также три разряда - единицы тысяч, десятки тысяч, сотни тысяч. На вопросы "Сколько разрядов будет в следующим классе, который называется классом миллионов?" и "Как они называются?" учащиеся отвечают: "Три" - и называют их: "Единицы миллионов, десятки миллионов, сотни миллионов". Это - вывод по аналогии, в

котором фиксируется определенное свойство вновь изучаемого объекта (класса миллионов)" (5, с.37).

3. Аналогия действий - аналогия, при которой на основе изучения ранее известного объекта выводится способ действия с изучаемым объектом.

Т е м а: Вычитание вида 42-5 (1 класс).

Сначала повторим ранее изученную тему: решите пример 47+5 с подробным объяснением. После решения 47+5=47+(3+2)=50+2=52 учитель проводит беседу:

- Почему к 47 сначала прибавили 3, а потом 2, можно ведь сначала прибавить 2, потом 3, или же 1 и 4? (Прибавим 3 и 47 дополним до разрядного числа 50, а к нему прибавлять 2 уже легче). Что самое главное при решении этого примера? (Главное - мы дополняем число до разрядного.) Нельзя ли по этому свойству решить пример 42-5? (ответа может и не быть. - А.А.). Хорошо. Мы в первом примере 47 дополнили до 50, а здесь какое у нас число? (Число 42). До какого разрядного числа его можно "довести" и как? (До 40, для этого нам надо вычесть 2) На доске пока запишем: 42-5=(42-2)... Но нам надо вычесть 5, а не 2. (Значит надо вычесть еще и 3). Попытайтесь самостоятельно завершить пример. (42-5=(42-2)-3=40-3=37.) Правильно. Ответьте теперь на вопрос: что же общего в этих примерах? ("Доводим" числа до разрядного числа.) Какие правила при их решении использованы? (Прибавление сумму к числу и вычитание суммы из числа). Ребята! А почему при изучении нового примера мы использовали ранее нам известный? (Потому что тот мы уже знали. Потом новый пример сравнили с ним и догадались: и здесь надо так делать.)

Т е м а. Вычитание суммы из числа (1 класс).

Под диктовку учащихся учитель на доске пишет три способа решения примера 7+(2+1):

7+(2+1)=7+3=10

7+(2+1)=(7+2)+1=9+1=10

7+(2+1)=(7+1)+2=8+2=10

Решение доказывают по правилу прибавления суммы к числу. После этого в примере 7+(2+1) во всех трех случаях впереди скобки "+" меняют на "-", получают пример 7-(2+1) и пытаются, заменив, где надо, "+" на "-", "исправить" решение. Полученные способы решения:

7-(2+1)=7-3=4

7-(2+1)=(7-2)-1=5-1=4

7-(2+1)=(7-1)-2=6-2=4

проверяют по учебнику, доказывают их правильность по рисунку и выводят правило: чтобы вычесть из числа сумму, можно из этого числа вычесть первое слагаемое и из полученного числа вычесть второе слагаемое.

Использование аналогии будет эффективным в том случае, если учащиеся понимают, что по аналогии высказывают лишь предположение и правильность этого предположения должна быть обязательно проверена. В противном случае наблюдается ошибочное ее применение. Учащиеся часто сами придумывают аналогию, которая, как таковой, в изучаемой ситуации отсутствует. Приведем некоторые примеры.

1. В задачах косвенной формы вида: "У Саши 10 книг, что на 3 больше, чем у Коли. Сколько книг у Коли?" учащиеся решают сложением по аналогии с предложением: "если больше, то прибавим", сформированным при решении задач вида: "У Саши 10 книг, а у Коли на 3 больше. Сколько книг у Коли?" Устранению и предупреждению такого рода ошибок способствует целенаправленная работа по развитию обратимости мышления (гл.3, §9).

2. Сравнивая с поразрядным вычитанием в примерах вида 48-24, выполняют деление 48:24=22, т.е. 4:2=2,8:4=2, значит в ответе будет 22.

3.При решении уравнений вида 9-х=5 учащиеся часто "выводят правило": из большего числа вычитаем меньшее. Используя это "правило" уравнение 15-х=19 они решают так: х=19-15, х=4. Причиной такого факта становится ложное утверждение, сформированное скорее всего по непредусмотрительности учительницы.