Обучение измерению величин

Основным понятием начального курса математики является понятие величины, усвоение особенностей которого достигается выполнением разнообразных практических заданий.

В 1-3 классах изучаются такие величины, как длина, площадь, масса, время, емкость и другие, единицы их измерения. При формировании представлении об этих величинах учитель опирается на опыт ребенка, уточняет и расширяет его. В процессе практического выполнения заданий учащиеся подводятся к самостоятельному выводу о необходимости введения единиц измерения.

Обучение измерению величин осуществляется по такой схеме:

введение единицы измерения

знакомство с измерительными приборами

установление соотношений между единицами измерения

действия с величинами

В некоторых случаях (например, изучение тонны) второй этап (знакомство с измерительным прибором) из этой схемы выпадает.

Величины рассматриваются в тесной связи с изучением натуральных чисел и дробей. Измерение величин является как бы продолжением изучения геометрического материала. Как только изучается какая-то фигура, вслед изучаются единицы измерения, связанные с этой фигурой.

В результате обучения измерению величин к концу обучения в начальной школе учащиеся должны знать таблицы единиц измерения величин, принятые обозначения этих единиц и уметь применять эти знания в практике измерений и при решении задач.

Осваивая понятие длины отрезка, учащиеся сначала используют такие приемы, как сравнение "на глаз", затем наложение и на следующем этапе вводятся различные мерки.

До поступления в 1 класс дети уже имеют определенные представления о длине: короче, длиннее, дальше, ближе и т.п. С первых дней эти представления у них уточняются. Постепенно вводится сравнение предметов по длине: "Какая лента длиннее? короче? Какая полоска длиннее? короче?" (рис.107), т.е. сравнение длин на глаз и подсчетом числа мерок как единицы измерения.

Приступая к изучению темы "Сантиметр", учитель предлагает сравнить два куска ленты: узнать, какая лента длиннее, какая - короче. Показывает, как это сделать, накладывая один кусок на другой так, чтобы совпали один из концов первой и один из концов второй лент. Затем также сравниваются две-три полоски бумаги (если концы не совпадают - неодинаковые по длине, тогда одна полоска длиннее, другая короче). После этого переходят к аналогичной работе по рисунку.

Учитель должен подвести итог работы, объяснив детям, что легко узнать, какая из полосок больше, а какая меньше только тогда, когда мы можем наложить их друг на друга или приложить их друг к другу. Ставится вопрос: как сравнить отрезки, если они начерчены на доске или на бумаге так, что концы их не находятся на одном уровне, когда непосредственное наблюдение на дает ответа на вопрос? Дети, вероятно, предложат какой-либо способ. (Веревочкой измерить один отрезок, а потом приложить эту же веревочку к другому или еще какой-нибудь.) Оттолкнувшись от этого, учитель говорит о том, что не всегда удобно пользоваться такими приемами (например, когда нужно купить ленточку определенной длины, большой кусок веревки или тесьмы и т.д.), что для сравнения отрезков пользуются измерением с помощью определенной мерки - сантиметра.

Для формирования наглядного представления сантиметра важно, чтобы дети нашли полоску длиной 1 см в учебнике, положили перед собой модель сантиметра, нашли на линейке расстояние, равное сантиметру (между любыми двумя "большими" делениями), установили, что ширина мизинца примерно равна сантиметру. Затем можно поупражнять детей в составлении отрезков (положите друг за другом 2 см - какой длины отрезок получился? Чтобы "сложить" отрезок длиной 5 см, сколько надо взять отрезков по 1 см?) Надо объяснить, как сокращенно записывается слово "сантиметр", и прочитать записи, данные в учебнике (1 см, 4 см). Чтобы каждый раз не накладывать все отрезки - сантиметры, используют линейку, где уже эти сантиметры отложены.

Далее дети учатся измерять с помощью линейки. При этом обращается внимание на то, что начало отрезка должно совпасть с нулевой меткой линейки. После введения измерения длины отрезка полезно показать учащимся как линейку можно использовать как вычислительный прибор (рис.108).

Этот прием работы является подготовкой к изучению координатной прямой в 6-7 классах.

После достаточного закрепления, в связи с изучением чисел от 21 до 100, вводится новая единица измерения - дециметр.

Дециметр вводится аналогично сантиметру. В данном случае применяется полоска длиной 10 см, выполняются практические работы по тексту заданий учебника: отмерь 3 дм тесьмы, измерьте дециметром высоту и ширину стола и т.п. После введения терминов "десятки", "единицы" учащиеся учатся измерять в смешанных единицах - 3 дм 2 см, переводить в единицы одного наименования. При этом учащиеся рассуждают так: 1 дм - это 10 см, 3 дм в 3 раза больше, т.е. 30 см; 30 см и еще 2 см � будет 32 см и наоборот: 32 см - это 30 см и 2 см, в 30 см три раза содержится 10 см, т.е. 30 см - это 3 дм; остается еще 2 см. Значит, 32 см будет 3 дм и 2 см.

При знакомстве с метром учащиеся работают с моделью метра. Изучают его деления, устанавливают соотношения между единицами измерения: см, дм и м.

После изучения единиц измерения километр (2 класс) и миллиметр (3 класс), учащиеся еще раз выясняют соотношение между изученными единицами длины и составляют обобщенную таблицу (как в обложках тетрадей).

При обобщении данной темы нужно провести аналогию: миллиметр - единицы, сантиметр - десятки, дециметр - сотни и метр - тысячи. Используя эту аналогию, учащиеся при переводе 2437 мм в более крупные единицы измерения рассуждают так: 2 тысячи - 2 м, 4 сотни - 4 дм, 3 десятки - 3 см, 7 единиц - 7 мм и поэтому 2437 мм = 2 м 4 дм 3 см 7 мм. Обратное рассуждение выглядит так: 2 м - это 2 тысячи, 4 дм � это 4 сотни, 3 см - это 3 десятка и 7 мм - это 7 единиц, поэтому 2 м 4 дм 3 см 7 мм = 2437 мм.

Такая аналогия облегчает не только перевод из одной единицы в другие единицы измерения, но и повышает эффективность усвоения нумерации.

При изучении каждой единицы измерения нужно использовать следующую систему упражнений (дается для сантиметра), которая определяется свойствами численных значений длин отрезка в теоретических основах математики:

3) Найдите длину отрезка СД, если он равен отрезку АВ (рис.109):

4) Найдите длину отрезка АВ и объясните свое решение (рис.110).

5) Если отрезок АВ увеличить 5 раз, то каким станет его длина (рис.111)?

Хотя сумма, разность отрезков и умножение, деление длины отрезка на число не предусмотрено программой, тем не менее они нужны при решении задач, когда краткую запись изображают отрезками. Их выполнение в устной форме доступно учащимся и не приводит к перегрузке.

Понятие длины еще раз закрепляется при решении задач (см. далее "Действия с именованными числами").

До изучения в 3 классе понятия площади учащиеся уже имеют представления о том, что одни предметы занимают больше места, другие - меньше. Плоские фигуры они сравнивают наложением друг на друга и делают вывод - это больше, это меньше. То же самое они иногда делают на глаз. При ознакомлении с площадью учителю надо предложить две фигуры, у которых форма различна, а различие площадей не очень четко выражено. В этом случае трудно сказать, какая фигура больше или меньше. Создается проблемная ситуация, которую учитель мотивирует: "Нам нужны новые знания, чтобы мы могли ответить на вопрос. Поэтому сегодня мы познакомимся с площадью". В учебнике (Моро М.И. и др. Математика, 3 кл., 1997) подобраны упражнения для введения понятия площади на наглядной основе. Ниже приводим методику авторов учебника.

1) Сообщив цель урока, учитель предлагает ученикам рассмотреть в учебнике рисунок (рис.113). Далее проводится беседа по вопросам: какие фигуры изображены на этом рисунке? (Круг и треугольник.) Как расположен треугольник по отношению к кругу? (Треугольник поместился внутри круга.) В таком случае говорят, что площадь круга больше площади треугольника или площадь треугольника меньше площади круга. Аналогично по другой фигуре.

2) Учитель показывает два изготовленных им из картона прямоугольника со сторонами: один 6 и 3 дм, другой - 9 и 2 дм (с обратной стороны каждый прямоугольник разбит на равные квадраты) - и предлагает сравнить их площади. После нескольких попыток ученики приходят к заключению, что одну фигуру нельзя наложить на другую так, чтобы она вся поместилась в другой. В таких случаях для сравнения площадей фигур их разбивают на равные квадраты и сравнивают число квадратов.

Учитель перевертывает прямоугольники обратной стороной: ученики подсчитывают число равных квадратов и находят, что эти различные по виду прямоугольники имеют одинаковую площадь.

3) Вместе с учителем учащиеся рассматривают рисунки к упражнениям учебника и устанавливают число одинаковых квадратов, которые могут уложиться в этих фигурах. Подсчитав их, сравнивают полученные числа и называют, площадь какой фигуры больше и какой меньше.

Знакомство с квадратным сантиметром можно провести так. Вырезать из картона или из плотной бумаги прямоугольник, например, со сторонами 20 и 10 см; с одной стороны он разбит на квадраты со стороной 5 см (всего 8 квадратов), а с другой - на квадраты со стороной 2 см (всего 50 квадратов). Учитель проводит беседу:

- Найдите площадь этого прямоугольника. (8 квадратов.) Как вы узнали? (Сосчитали квадраты, на которые разбит прямоугольник.) Найдите теперь площадь этого же прямоугольника (поворачивает прямоугольник другой стороной). Чему равна его площадь? (50 квадратов.) Почему получилось разное число квадратов? (Прямоугольник разбили сначала на большие квадраты, а потом на маленькие. Больших получилось меньше, а маленьких больше.) Как видим, нельзя брать для измерения площади какие угодно квадраты, потому что тогда при измерении одной и той же площади разными квадратами будут получаться разные числа. Поэтому для измерения площади фигур пользуются определенными единицами. Одна из единиц площади - это квадрат со стороной 1 см. Называется эта единица квадратный сантиметр. Рассмотрите квадратный сантиметр на рисунке в учебнике. Начертите в тетрадях квадратный сантиметр. При числах слова "квадратный сантиметр" пишут сокращенно так: 1 см², подпишите так же под начерченным вами квадратным сантиметром. Прочитайте объяснение в учебнике.

При выполнении упражнений на закрепление число квадратных сантиметров полезно подсчитывать "по рядам" и "по столбцам": в одном ряду 3 квадрата, таких рядов 2, всего 6 квадратов и т.д. Это облегчит в будущем вывод правила нахождения площади прямоугольника.

Для нахождения площади фигур, не разделенных на квадратные сантиметры, применяют палетку - прозрачную пленку, разбитую, обычно, на квадратные сантиметры. На уроках труда сначала учащиеся делают палетку, а потом на уроке математики выполняют соответствующее упражнение: подсчитывают число полных клеток (10), неполных (16 - это приблизительно 8 полных)и определяют площадь: 10+8=18 (см²). Это показано на рисунке 114.

Далее учащиеся знакомятся с площадью прямоугольника.

Учитель предлагает ученикам начертить в тетрадях прямоугольник длиной 4 см, шириной 2 см, разделить его на квадратные сантиметры и подсчитать, сколько квадратных сантиметров получилось. В это же время учи

тель чертит на классной доске прямоугольник, длины сторон которого 4 дм и 2 дм.

- Разделим противоположные стороны прямоугольника так, чтобы каждое деление было равно одному сантиметру. Соединим отрезками точки деления, которые расположены на противоположных сторонах фигуры. Сколько получилось полос? (2 полосы, каждая длиной 4 см, шириной 1 см.) Соединим отрезками точки, расположенные на двух других противоположных сторонах. Прямоугольник разбили на квадратные сантиметры. Сколько всего квадратных сантиметров в прямоугольнике? (8 см²) Как получили число 8? (Умножили 4 на 2.) Что обозначают числа 4 и 2? (Это длина и ширина прямоугольника.) Следовательно, чтобы вычислить площадь прямоугольника, что надо знать? (Его длину и ширину.) Да, надо узнать длину и ширину прямоугольника в одинаковых единицах измерения и полученные числа перемножить. (Записывают: 4�2=8 (см²).) Как по другому узнать, на сколько квадратных сантиметров разбит прямоугольник? (по столбцам: по 2 квадратных сантиметра взять 4 раза, получится 2�4=8(см²).)

После этого закрепляют работой по рисункам учебника и еще раз формулируют полученное правило.

Далее учащиеся знакомятся с квадратным дециметром и квадратным метром, составляют обобщенную таблицу мер площади, показывающей соотношение между единицами измерения площади.

В связи с изучением площади решаются такие задачи:

1) Вырази в квадратных дециметрах: 8м�, 18 м² 70 дм² и т.д., т.е. на перевод из одной единицы измерения в другую.

2) Длина нашего класса 8м, ширина 6 м. Чему равна площадь нашего класса?

3) Реши задачи, сравни их условия, вопросы и решения:

а) Длина зала 15 м, ширина 9 м. Вычисли площадь зала.

б) Площадь зала 135 м², длина зала 15 м. Чему равна ширина зала?

в) Площадь зала 135 м², ширина 9 м. Чему равна длина зала?

С целью усиления практической направленности изучения измерения длины и площади, на пришкольном участке можно выполнить простейшие практические работы:

1) провешивание на земле прямых линий и измерение;

2) измерение расстояния шагами и на глаз с последующей проверкой измерительным инструментом;

3) измерение площади на местности (готового прямоугольного участка или построением такого участка).

Практические представления о таких видах работ читатели получили в курсах природоведения, географии и других предметов.

При нынешнем уровне развития техники дети уже имеют достаточных представлений не только о том, что один предмет тяжелее, другой - легче, но и о килограмме, о весах и др. Они уже умеют сравнивать предметы по массе на руках, знают, что можно взвесить и т.п. В процессе обучения еще раз уточняются эти представления, вводятся новые единицы измерения.

Единицы массы килограмм, грамм изучаются экспериментально-практическим методом (гл. 4, � 5). Учитель и учащиеся работают на демонстрационных весах, выполняют задания учебника на взвешивание и записывают результаты. После ознакомления с гирями в 1 кг, 2 кг, 5 кг с учащимися полезно рассматривать случаи: как взвесить предмет весом 3 кг, 6 кг, 7 кг и т.п. Полезно определять массу предметов, которые широко встречаются в быту: буханка хлеба, литр молока, ведро картошки и др.

При ознакомлении с граммом нужно показать гири весом 1 г, 2 г, 5 г и другие. Их можно найти в любом кабинете химии или физики. Очень интересно проходит урок изучения этой темы в кабинете физики или химии в форме лабораторной работы: учащиеся сами, индивидуально работают, используя лабораторные весы.

Полезно показать различные приборы для взвешивания: весы домашние, электронные, старинные (если есть возможность). В 3 классе изучаются тонна, центнер и обобщаются соотношения между единицами массы: 1т = 1000 кг, 1 ц = 100 кг и т.д., которые используются далее при выполнении таких заданий:

1) перевод из одной единицы в другую единицу измерения: вырази в килограммах: 2 т 4 ц, 8000 г, 2 т 46 кг и т.п.;

2) сложение и вычитание величин, выраженных в единицах массы: 8 ц 36 кг - 5 ц 48 кг и т.п. (см. "Действия с именованными числами");

3) решение составных задач, которые устанавливают взаимосвязь между величинами: масса одного предмета - количество предметов - их общая масса (задачи на нахождение четвертого пропорционального, пропорциональное деление и др.).

Время - одна из трудных для изучения величин. Его восприятие затрудняется тем, что время течет непрерывно, необратимо и сравнить его непосредственно, как в случае с длиной или массой, с продолжительностью других событий мы не можем. Восприятие времени к тому же зависит еще от эмоционального состояния человека.

В 1-3 классах изучаются такие меры времени, как год, месяц, неделя, сутки, час, минута, секунда, век.

Изучение времени и его измерения начинается во 2 классе. К этому времени в 1 классе у детей уточняются временные представления: день, ночь, раньше, позже и др.. В неявном виде они получают представление о недели по расписанию уроков (неделя - это 7 дней, от воскресенья до воскресенья), о сутках, часах, месяце, годе.

Приступая к изучению темы "Год, месяц, неделя" начать работу надо с выяснения того, что детям уже известно. "Какой сейчас месяц идет? - спрашивает учитель. - А какой месяц был до него? С какого месяца начинается год? Какого числа мы все отмечаем праздник Нового года? Сколько всего месяцев в году?". Кто-то из ребят, конечно, ответит на этот вопрос, а учитель должен подчеркнуть, что это должны знать все, что нужно очень хорошо запомнить, что в году 12 месяцев, и знать, как называются месяцы, какой месяц за каким следует и сколько в каждом месяце дней, что усвоить это легче, если почаще обращаться к календарю. Снова полезно спросить у детей, знают ли они, что такое календарь, какие календари они видели, умеют ли ими пользоваться. После этого можно перейти к рассмотрению табеля-календаря. Рассматривая календарь, дети отвечают на вопросы, предлагаемые учебником.

Далее учитель предлагает детям найти и назвать те месяцы, в которых по 30 дней, 31 дню. Специальное внимание обращается на то, что в феврале может быть 28 дней, а может быть и 29 (один раз в 4 года). Полезно объяснить происхождение этих дней, т.е. високосного года.

После ознакомления с календарем следует приучать детей к сокращенной записи даты, в которой наряду с арабскими цифрами для обозначения числа и года часто используются римские цифры для обозначения месяца. В связи с этим, именно на этом уроке в учебнике предусмотрено ознакомление с римскими цифрами. Прежде всего нужно детям показать эти цифры. Можно объяснить их происхождение (1 - 1 палец, V - 5 - рука с отставленным большим пальцем, Х - 10 - две перекрещенные руки). Необходимо разъяснить, как с помощью этих трех знаков (цифр) записываются числа от 1 до 12 (1, 2, 3 записываются соответствующим числом палочек, 5 � новым знаком, а 4 и 6 - с помощью тех же знаков, но 4 - как 5 без 1 (1 пишется слева от цифры V), а 6 - как 5 да 1 (1 пишется справа от цифры V), далее 7 - как 5 да 2 (V11), 8 - как 5 да 3 (V111), а 9 - как 10 без 1 (1 пишется слева от цифры Х - 1Х), 11 - как 10+1 (Х1) и т.д. Полезно напомнить, что в связи с широким распространением компьютерной техники в документах, время указывается все же с арабскими цифрами (3.04.98, т.е. 3 апреля 1998 года).

После этого дети нумеруют месяцы по порядку, упражняются в записи различных дат.

Выяснив, как составлен табель-календарь, полезно предложить детям составить самостоятельно по этому образцу календарь на текущий месяц, зная только сегодняшнее число и день недели.

Понятие о сутках раскрывается через понятия о частях суток - утро, день, вечер, ночь или от восхода солнца до следующего восхода, от утра до утра, от вечера до вечера. Учащиеся уточняют представления временной последовательности: позавчера, вчера, сегодня, завтра, послезавтра.

Изучение понятий час и минута проводится на модели часового циферблата с подвижными стрелками. Объяснения учитель ведет по тексту учебника, где сообщается о часовой и минутной стрелке, о том, что счет времени начинается от полуночи (12 часов ночи) или от полудня (12 часов дня); обе стрелки показывают тогда на 12 и т.д.

Далее учащиеся упражняются по модели часов определять время и при этом выясняют, что значит "полвторого", "без пятнадцати пять", "без четверти восемь" и т.д.

Используя модель часов, решают такие задачи:

1. Определение конца события: "Урок начался в 11 часов и продолжался 45 минут. Когда кончился урок?"

2. Определение продолжительности события: "Ученик вышел из дома в 8 часов 30 минут и пришел в школу в 8 часов 45 минут. Сколько минут он потратил на дорогу?"

3. Определение начала события: "Тренировка юных футболистов продолжалась 40 минут, и закончилась в 2 часа 45 минут. Когда началась тренировка?" (Эта задача решается вращением стрелки часов назад.)

В 3 классе учащиеся знакомятся с единицей времени - секунда. Наиболее удачный вариант - учитель приносит секундомер, объясняет его назначение и просит, кто сколько букв напишет, до скольки сосчитает за 1 секунду (время засекается по секундомеру).

Изучение мер времени завершается ознакомлением с единицей "век" (100 лет) и составлением обобщенной таблицы единиц измерения времени. При изучении века полезно напомнить, что 21-й век начинается не в 2000 году, а с 1 января 2001 года.

При изучении единиц времени нужно привлечь фактический материал из других предметов. Например, в году 365 и 366 суток, в феврале 28 или 29 дней - эти разницы объясняются на основе знаний из природоведения.

В 1-3 классах рассматриваются действия сложения и вычитания с именованными числами, которые выполняются как устно, так и письменно.

Для устных вычислений подбираются упражнения вида:

В последнем упражнении учащиеся рассуждают так: 5 т - 3 т = 2 т, из 2 т вычитаем 200 кг, это будет 1 т 800 кг, значит в ответе 1 т 800 кг.

Сложение и вычитание именованных чисел, где переходят через десяток, обычно выполняют письменно. Например, 42 м 65 см + 26 м 83 см. Именованные числа переводим в отвлеченные: 42 м 65 см - это 4265 см, а 26 м 83 см - это 2683 см, их будем складывать как обычные числа 4265 и 2683:

и мы получим 6948 см, т.е. 69 м 48 см; поэтому 42 м 65 см + 26 м 83 см = 69 м 48 см.

Методика изучения других величин: емкость, стоимость, скорость и другие аналогична вышеизложенной методике и непосредственно связывается с обучением решению задач.